Ch01　DSP 概述#

• DSP（Digital Signal Processing）定义：以离散时间取样信号为对象，使用数值算法（加法、乘法、延迟、累加）对信号进行变换、分析、滤波、压缩或识别的技术。
• 模拟处理 vs. 数字处理：
  • 数字处理优点：可编程、抗噪声、易储存、易复制、精度可控、可实现复杂算法。
  • 数字处理缺点：存在取样误差、量化误差、运算延迟，频带受 Nyquist 限制，系统需要 ADC/DAC。
• 典型 DSP 系统流程：信号源 → 抗混叠滤波器（Anti-aliasing LPF）→ ADC（取样 + 量化 + 编码）→ 数字处理器 → DAC → 重建滤波器 → 模拟输出。
• 抗混叠滤波器：取样前使用低通滤波器，避免高于 $f_s/2$ 的频率折叠到低频。
• 重建滤波器：DAC 后使用低通滤波器，使阶梯状输出平滑成模拟信号。
• 常见应用：通信、音频、图像、雷达、医学仪器、航空导航（IMU/GPS/语音）、生医信号（ECG/EEG）。

Ch02　模拟信号#

• 连续时间信号 $x(t)$：时间连续、幅度连续。
• 重要分类：
  • 周期 / 非周期：若存在 $T>0$，使 $x(t)=x(t+T)$，则为周期信号。
  • 确定性 / 随机。
  • 能量信号 / 功率信号：能量有限通常功率为 0；周期信号通常为功率信号。
  • 偶函数 / 奇函数：$x(-t)=x(t)$、$x(-t)=-x(t)$。
• 正弦信号：$x(t)=A\sin(2\pi ft+\phi)$。
  • 角频率：$\omega=2\pi f$。
  • 周期：$T=1/f$。
  • 相位：$\phi$ 控制水平平移。
• 常见时间变换：
  • $x(t-t_0)$：右移 $t_0$。
  • $x(t+t_0)$：左移 $t_0$。
  • $x(-t)$：时间反转。
  • $x(at)$：$|a|>1$ 压缩，$0<|a|<1$ 拉伸。
• 取样前必须抗混叠：模拟最高频率应限制在 $f_s/2$ 以下。

Ch03　数字信号#

• 离散时间信号 $x[n]$：自连续时间信号以周期 $T_s$ 取样得到：$x[n]=x(nT_s)$。
• 取样频率与取样周期：$f_s=1/T_s$。
• Nyquist–Shannon 取样定理：若模拟信号最高频率为 $f_{\max}$，必须满足 $$f_s \ge 2f_{\max}$$ 否则发生混叠（aliasing）。
• 混叠频率： $$f_{alias}=|f-kf_s|$$ 其中 $k$ 取使结果落入 $[0,f_s/2]$ 的整数。
• 量化：把连续幅度映射到有限个等级。
  • $B$ 位量化：$2^B$ 个等级。
  • 量化步阶：$\Delta$。
  • 均匀量化噪声功率近似：$\Delta^2/12$。
• 特殊离散信号：
  • 单位冲激：$\delta[n]=1$（$n=0$），其余为 0。
  • 单位阶跃：$u[n]=1$（$n\ge0$），否则为 0。
  • 斜坡：$r[n]=n u[n]$。
  • 指数：$a^n$、复指数：$e^{j\Omega n}$。
• 离散正弦序列周期性：$x[n]=\cos(\Omega_0 n)$ 为周期序列当且仅当 $$\frac{\Omega_0}{2\pi}=\frac{k}{N}$$ 为有理数。最小正整数 $N$ 为基本周期。
• 能量与平均功率： $$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$$ $$P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$$

Ch04　信号生成#

• 常用数字信号模型：
  • DC：$x[n]=C$。
  • 单位冲激、单位阶跃、斜坡。
  • 正弦/余弦：$x[n]=A\sin(2\pi f n/f_s+\phi)$。
  • 指数衰减：$x[n]=A a^n u[n]$，$|a|<1$。
  • 复指数：$x[n]=Ae^{j\Omega n}$。
  • Chirp：频率随时间变化的信号。
• 归一化角频率： $$\Omega=2\pi\frac{f}{f_s}$$ 通常取范围 $(-\pi,\pi]$。
• 数字频率的周期性： $$e^{j(\Omega+2\pi)n}=e^{j\Omega n}$$ 因此 $\Omega$ 与 $\Omega+2\pi$ 表示相同离散频率。
• 常见计算题：给 $f_s$、$f$，求 $\Omega$、周期 $N$，判断是否混叠或是否周期。

Ch05　噪声#

• 噪声类型：
  • 白噪声：功率谱密度平坦，自相关 $r[k]=\sigma^2\delta[k]$。
  • 高斯噪声：幅度服从正态分布。
  • 粉红噪声：功率谱约为 $1/f$。
  • 棕色噪声：功率谱约为 $1/f^2$。
  • 量化噪声：常近似为均匀分布。
• 白噪声不一定是高斯噪声：白噪声描述频谱特性，高斯噪声描述概率分布。
• 信噪比 SNR： $$SNR(dB)=10\log_{10}\frac{P_s}{P_n}=20\log_{10}\frac{A_s}{A_n}$$ 第二个公式适用于同阻抗、以幅度比表示时。
• ADC 理想量化 SNR：满刻度正弦输入时 $$SNR \approx 6.02B+1.76\text{ dB}$$
• 常见去噪方法：平均、低通滤波、移动平均、自适应滤波、频域滤波、Welch 平均估计。

Ch06　DSP 系统#

• 系统性质：
  • 线性：$T\{a x_1+b x_2\}=aT\{x_1\}+bT\{x_2\}$。
  • 时不变：输入延迟 $n_0$，输出也延迟 $n_0$。
  • 因果：输出只依赖现在与过去输入；LTI 系统因果等价于 $h[n]=0, n<0$。
  • BIBO 稳定：任意有界输入产生有界输出；LTI 系统稳定等价于 $\sum |h[n]|<\infty$。
  • 有记忆 / 无记忆：无记忆系统只依赖当前输入 $x[n]$。
• LTI 系统由冲激响应完全描述： $$y[n]=x[n]*h[n]$$
• 差分方程： $$\sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_k x[n-k]$$ 由 Z 变换可得到系统函数 $H(z)$。
• 系统互连：
  • 串联：$h_{total}=h_1*h_2$。
  • 并联：$h_{total}=h_1+h_2$。
  • 反馈：通常会产生 IIR。
• 常考判断：
  • $y[n]=x[n]+0.5x[n-1]$：线性、时不变、因果、稳定。
  • $y[n]=n x[n]$：线性、时变、因果、稳定性视输入输出关系而定，通常 BIBO 不稳定。
  • $y[n]=x[n^2]$：时变、非因果。
  • $y[n]=x^2[n]$：非线性、时不变、因果。

Ch07　卷积#

• 离散卷积定义： $$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$$
• 核心意义：LTI 系统输出等于输入与冲激响应的卷积。
• 卷积性质：
  • 交换律：$x*h=h*x$。
  • 结合律：$(x*h_1)*h_2=x*(h_1*h_2)$。
  • 分配律：$x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2$。
  • 单位元：$x[n]*\delta[n]=x[n]$。
  • 延迟：$x[n]*\delta[n-n_0]=x[n-n_0]$。
• 有限长卷积长度：若 $x$ 长度为 $L_1$，$h$ 长度为 $L_2$，则 $y$ 长度为 $$L_y=L_1+L_2-1$$
• 手算方法：
  1. 翻转：$h[k]\to h[-k]$。
  2. 平移：$h[-k]\to h[n-k]$。
  3. 对齐相乘并求和。
  4. 也可用表格法或多项式相乘法。
• 用冲激表示序列： $$x[n]=\sum_k x[k]\delta[n-k]$$
• 考试提醒：卷积题要写清楚 $n$ 的范围、每个 $y[n]$ 的值，并能画出 stem 图。

Ch08　相关、自相关与卷积补充#

• 互相关（cross-correlation）：衡量两个信号的相似程度，常用于延迟估计、模板匹配。 $$r_{xy}[l]=\sum_n x[n]y^*[n-l]$$
• 自相关（auto-correlation）：信号与自身的相关。 $$r_{xx}[l]=\sum_n x[n]x^*[n-l]$$
• 相关与卷积的关系：相关可以看成一个信号与另一个信号的共轭反转版本做卷积。
• 白噪声自相关： $$r_{ww}[l]=\sigma^2\delta[l]$$
• 周期信号自相关：仍具有相同周期，常用于发现隐藏周期。
• 常考概念：
  • 卷积用于 LTI 系统输出。
  • 相关用于相似度、延迟检测、周期检测。
  • 自相关在 $l=0$ 处通常最大。

Ch09　傅里叶级数 / 傅里叶变换家族#

Ch10　Z 变换#

Ch10b　冲激响应 / 频率响应 / Z 变换整合#

• LTI 系统四种描述互通： $$\text{差分方程} \Longleftrightarrow H(z) \Longleftrightarrow h[n] \Longleftrightarrow H(e^{j\Omega})$$
• 频率响应是系统函数在单位圆上的取值： $$H(e^{j\Omega})=H(z)|_{z=e^{j\Omega}}$$ 前提：ROC 包含单位圆。
• 极零点几何意义： $$H(e^{j\Omega})=K\frac{\prod_i(e^{j\Omega}-z_i)}{\prod_k(e^{j\Omega}-p_k)}$$
  • 到零点距离越小，增益越低。
  • 到极点距离越小，增益越高。
  • 零点在单位圆上会造成完全陷波。
  • 极点靠近单位圆会造成共振峰。

Ch11　滤波器设计总论#

Ch11b　Notch（陷波）滤波器#

Ch11c　FIR 滤波器#

Ch12　IIR 滤波器#

Ch13　频谱分析#

Ch14　频率响应#

• 频率响应定义： $$H(e^{j\Omega})=|H(e^{j\Omega})|e^{j\theta(\Omega)}$$
• 正弦稳态响应：若输入 $$x[n]=A\cos(\Omega_0 n+\phi)$$ 则输出为 $$y[n]=A|H(e^{j\Omega_0})|\cos(\Omega_0 n+\phi+\angle H(e^{j\Omega_0}))$$
• 幅度响应：决定每个频率成分被放大或衰减多少。
• 相位响应：决定每个频率成分被平移多少。
• 群延迟： $$\tau(\Omega)=-\frac{d\theta(\Omega)}{d\Omega}$$ 若群延迟为常数，波形失真较小。
• 极零点几何： $$|H(e^{j\Omega})|=|K|\frac{\prod_i|e^{j\Omega}-z_i|}{\prod_k|e^{j\Omega}-p_k|}$$
• 常见判断：
  • 零点在 $z=1$：抑制 DC，像高通。
  • 零点在 $z=-1$：抑制 $\Omega=\pi$，像低通。
  • 零点在 $e^{\pm j\Omega_0}$：抑制 $\Omega_0$，形成陷波。
  • 极点靠近 $e^{\pm j\Omega_0}$：增强 $\Omega_0$，形成共振。
• 全通滤波器：幅度为常数，主要改变相位；极点 $p$ 对应零点 $1/p^*$。
• 最小相位系统：所有零点在单位圆内；因果稳定系统的逆系统也稳定。

速记：极点吸引成峰，零点排斥成谷；越靠近单位圆，效果越强。

速查重点公式#

• Nyquist：$f_s\ge2f_{\max}$。
• 混叠：$f_{alias}=|f-kf_s|$，结果落入 $[0,f_s/2]$。
• 归一化频率：$\Omega=2\pi f/f_s$。
• 卷积：$y[n]=\sum_k x[k]h[n-k]$。
• 卷积长度：$L_y=L_1+L_2-1$。
• DFT：$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$。
• DFT 频率间隔：$\Delta f=f_s/N$。
• 频率 bin：$f_k=kf_s/N$。
• FFT 复杂度：$O(N\log_2N)$。
• ADC SNR：$6.02B+1.76$ dB。
• Z 变换：$a^n u[n]\leftrightarrow 1/(1-az^{-1})$，ROC：$|z|>|a|$。
• 因果稳定 IIR：所有极点在单位圆内。
• 频率响应：$H(e^{j\Omega})=H(z)|_{z=e^{j\Omega}}$。
• FIR Notch：$b=[1,-2\cos\Omega_0,1]$。
• 移动平均零点：$z=e^{j2\pi k/N}$，$k=1,\dots,N-1$。
• 线性相位 FIR 群延迟：$(N-1)/2$。
• Butterworth：$|H(j\Omega)|^2=1/(1+(\Omega/\Omega_c)^{2N})$。

中等难度计算题练手#

选择题易混淆观念清单#

• DTFT 是连续频谱，且以 $2\pi$ 为周期；DFT 是离散频谱，且以 $N$ 为周期。
• FFT 不是新的变换，只是 DFT 的快速算法。
• 补零不会增加真实频率解析度，只会让频谱图更平滑、更密。
• 真实频率解析度主要由观测时间 $T_{obs}$ 决定。
• 时域相乘对应频域卷积；时域卷积对应频域相乘。
• DFT 计算卷积时，如果不补零，会得到圆周卷积。
• 白噪声表示功率谱平坦，不代表幅度一定服从高斯分布。
• FIR 一定 BIBO 稳定；IIR 不一定不稳定，但必须看极点。
• 因果 IIR 稳定等价于全部极点在单位圆内。
• 稳定 LTI 的 ROC 必须包含单位圆。
• 因果系统的 ROC 在最外极点之外。
• 线性相位不等于最小相位。
• 零点在单位圆上会使对应频率增益为 0。
• 极点靠近单位圆会在对应角度产生共振峰。
• Type II 线性相位 FIR 在 $\Omega=\pi$ 必为 0，因此不适合做高通。
• 冲激不变法可能发生频域混叠，不适合设计高通。
• 双线性变换不会混叠，但会产生频率扭曲，需要预扭曲。
• Hamming/Blackman 等窗函数能降低旁瓣，但会加宽主瓣。
• 移动平均是低通滤波器，但会在若干频率点产生零点。
• 取样前需要抗混叠滤波器；DAC 后需要重建滤波器。

考前优先复习顺序#

1. 必会计算：取样混叠、归一化频率、卷积、DFT 解析度、Z 变换稳定性、Notch 系数。
2. 必会概念：DTFT vs. DFT、FIR vs. IIR、线性相位、ROC、极零点频率响应。
3. 必背公式：Nyquist、卷积长度、DFT、$\Delta f$、ADC SNR、$a^n u[n]$ 的 Z 变换、Notch 公式。
4. 最容易失分：补零是否提高解析度、圆周卷积与线性卷积、因果稳定的极点条件、窗函数主瓣/旁瓣取舍。

考前一晚建议：先看“速查重点公式”和“选择题易混淆观念清单”，再重做 12 题练习题。命中率最高的题型通常是 取样定理、卷积、DFT/解析度、Z 变换稳定性、Notch 设计、频率响应几何。